1. 為什么“集合與函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)的第一道分水嶺如果你問一個剛帶完高三畢業(yè)班的數(shù)學(xué)老師高中數(shù)學(xué)哪一章最容易讓學(xué)生“翻車”十有八九會告訴你不是導(dǎo)數(shù)不是圓錐曲線而是開學(xué)第一個月學(xué)的集合與函數(shù)。這聽起來有點反直覺——集合不就是一堆東西放一起嗎函數(shù)不就是y跟著x變嗎初中就接觸過的東西怎么就成了分水嶺問題恰恰出在這里。初中數(shù)學(xué)的思維方式是“算”給你一個式子你算出結(jié)果就行。而集合與函數(shù)這一章第一次要求學(xué)生從“算”切換到“看”——看關(guān)系、看結(jié)構(gòu)、看變化趨勢。這個思維切換有人一周就適應(yīng)了有人半個學(xué)期都沒緩過來。我?guī)н^的一個學(xué)生初中數(shù)學(xué)常年110分以上滿分120高一第一次月考數(shù)學(xué)只考了67分卷子拿過來一看集合的運算全對函數(shù)定義域和值域的題幾乎全軍覆沒。他不是不會算是根本沒理解“定義域”這三個字在說什么。所以這篇內(nèi)容我想把集合與函數(shù)這一章的核心邏輯、常見陷阱、以及那些課本上不會明說但考試一定會考的東西從頭到尾捋一遍。不管你是正在學(xué)這一章的學(xué)生還是準(zhǔn)備給孩子輔導(dǎo)的家長或者剛?cè)肼殠Ц咭坏哪贻p老師都能從中找到可以直接用的東西。我會盡量用大白話把每個概念講透該給的例子給足該拆的步驟拆細讓你看完就能上手做題、講題。2. 集合看似簡單但坑都在細節(jié)里2.1 集合到底是什么——從“一堆東西”到“一個整體”課本上對集合的定義是“一些確定的、不同的對象匯集在一起形成的整體”。這句話每個字都認(rèn)識但真正理解的人不多。關(guān)鍵在“確定的”和“不同的”這兩個詞?！按_定的”意思是給你一個對象你能明確判斷它屬不屬于這個集合。比如“所有高個子的人”就不是集合因為多高算高1米81米75說不清楚。但“所有身高超過1米75的人”就是集合因為標(biāo)準(zhǔn)明確。“不同的”意思是集合里的元素不能重復(fù){1, 1, 2}和{1, 2}是同一個集合。我一般會跟學(xué)生打這樣一個比方集合就像一個班級的花名冊?；麅陨厦總€名字對應(yīng)一個學(xué)生不會有同一個學(xué)生出現(xiàn)兩次互異性也不會有一個名字對應(yīng)“可能是張三也可能是李四”確定性?；麅陨厦值呐帕许樞驘o所謂無序性但花名冊上有沒有這個名字是明確的。這三個性質(zhì)——確定性、互異性、無序性——就是集合的“三大鐵律”。考試?yán)镪P(guān)于集合概念的題90%都是在考這三個性質(zhì)尤其是互異性。舉個經(jīng)典考題已知集合A {a2, (a1)2, a23a3}且1∈A求實數(shù)a的值。這道題看起來簡單但很多學(xué)生算出a0或a-1或a-2就結(jié)束了忘了檢驗互異性。代入a0集合變成{2, 1, 3}沒問題代入a-1集合變成{1, 0, 1}有兩個1違反互異性舍去代入a-2集合變成{0, 1, 1}同樣違反互異性舍去。所以正確答案只有a0。這道題如果忘了檢驗就會多出兩個錯誤答案。注意凡是題目中出現(xiàn)了用字母表示的集合元素算出結(jié)果后一定要代回去檢驗互異性。這是高一第一次月考的必考陷阱沒有例外。2.2 集合的表示方法——什么時候用列舉什么時候用描述集合的表示方法主要有兩種列舉法和描述法。列舉法就是把元素一個個寫出來比如{1, 2, 3}描述法就是用條件來表示比如{x | x 0}。選哪種方法取決于集合里元素的個數(shù)和特征。元素少且明確用列舉法元素多或者有規(guī)律用描述法。但實際操作中很多學(xué)生搞不清楚描述法里豎線前面那個字母代表什么。{x | x 0}這個寫法豎線前面的x表示“這個集合里的元素長什么樣”豎線后面表示“這些元素滿足什么條件”。所以{x | x 0}讀作“所有大于0的x組成的集合”。如果寫成{y | y 0}意思完全一樣只是換了個字母。但有一種情況容易出錯{(x, y) | y x2}。這里豎線前面是(x, y)表示集合里的元素是“點”不是數(shù)。這個集合是拋物線y x2上所有點組成的集合。如果寫成{x | y x2}那就變成了“所有滿足y x2的x”也就是全體實數(shù)因為任何實數(shù)x都能找到一個對應(yīng)的y意思完全不同。我見過一道題設(shè)集合A {(x, y) | x y 1}B {y | y x2}求A∩B。很多學(xué)生直接寫“無解”或者“空集”因為他們覺得一個是點集一個是數(shù)集沒法交集。但實際上A是直線上的點集B是函數(shù)的值域[0, ∞)兩者確實沒有公共元素A∩B ?。這道題考的就是你能不能分清“點集”和“數(shù)集”。實操心得看到描述法先看豎線前面是什么。如果是單個字母就是數(shù)集如果是(x, y)就是點集。這個判斷只需要一秒鐘但能幫你避開很多坑。2.3 集合間的運算——交、并、補的邏輯與易錯點集合的三種基本運算是交集∩、并集∪和補集?。交集是“兩個集合都有的元素”并集是“兩個集合所有的元素合在一起”補集是“全集里去掉某個集合剩下的元素”。這三種運算本身不難難的是和不等式結(jié)合起來考。比如已知A {x | -1 x 3}B {x | x ≥ 2}求A∩B。畫數(shù)軸是最穩(wěn)妥的方法A是-1到3之間的開區(qū)間B是2到正無窮的左閉區(qū)間兩者重疊的部分是[2, 3)。注意A的右端點是3開B的左端點是2閉所以交集是左閉右開。這里最容易錯的是端點的開閉。我總結(jié)了一個口訣“交集看嚴(yán)格并集看寬松。”意思是求交集時端點必須同時滿足兩個集合的條件所以只要有一個是開的結(jié)果就是開的求并集時端點只要滿足其中一個集合的條件就行所以只要有一個是閉的結(jié)果就是閉的。補集運算有一個常見陷阱全集變了補集就變了。比如??A和??AR是實數(shù)集Z是整數(shù)集是完全不同的兩個集合。題目里如果沒有明確全集是什么默認(rèn)是實數(shù)集R但有時候題目會指定全集為整數(shù)集Z或自然數(shù)集N這時候就要特別小心。還有一個高頻考點是“空集”?？占侨魏渭系淖蛹@個性質(zhì)在解含參數(shù)的集合問題時經(jīng)常用到。比如已知A {x | 1 x 2}B {x | x a}若A ? B求a的取值范圍。很多學(xué)生直接寫a ≥ 2就結(jié)束了但忘了考慮B ?的情況。當(dāng)a ≤ 1時B是空集空集是任何集合的子集所以也滿足條件。正確答案是a ≥ 2或a ≤ 1也就是a ≤ 1或a ≥ 2。注意凡是題目中出現(xiàn)“A ? B”且B含有參數(shù)一定要分B ?和B ≠ ?兩種情況討論。這是高一期中考試的高頻失分點。3. 函數(shù)從“變化關(guān)系”到“對應(yīng)規(guī)則”的思維躍遷3.1 函數(shù)的本質(zhì)——不是公式是“對應(yīng)規(guī)則”初中對函數(shù)的定義是“在一個變化過程中有兩個變量x和y如果給定一個x值相應(yīng)地就確定了一個y值那么y是x的函數(shù)”。這個定義強調(diào)的是“變化過程”但高中對函數(shù)的定義更抽象設(shè)A、B是非空數(shù)集如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f使對于集合A中的任意一個數(shù)x在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)那么就稱fA→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。這個定義的三個關(guān)鍵詞是非空、任意、唯一。“非空”是說A和B都不能是空集“任意”是說A中的每一個x都要有對應(yīng)的y“唯一”是說一個x只能對應(yīng)一個y不能對應(yīng)兩個。很多學(xué)生不理解“唯一”的重要性。我舉個例子y2 x這個關(guān)系里給定x 4y可以是2也可以是-2所以y不是x的函數(shù)。但反過來y x2給定x 2y只能是4所以y是x的函數(shù)。判斷一個關(guān)系是不是函數(shù)就看“一個x能不能對應(yīng)多個y”。這里有一個容易混淆的點函數(shù)允許“多個x對應(yīng)同一個y”。比如y x2x 2和x -2都對應(yīng)y 4這是允許的。函數(shù)只限制“一個x不能對應(yīng)多個y”不限制“多個x對應(yīng)同一個y”。實操心得判斷一個圖像是不是函數(shù)圖像用“豎線檢驗法”——如果任何一條豎線與圖像最多只有一個交點就是函數(shù)圖像。這個方法比背定義快得多考試時可以直接用。3.2 定義域和值域——函數(shù)的“邊界”與“范圍”定義域是函數(shù)中自變量x的取值范圍值域是因變量y的取值范圍。這兩個概念看起來簡單但實際做題時定義域往往是失分重災(zāi)區(qū)。求定義域的常見限制條件有四種分母不能為零、偶次根號下不能為負、對數(shù)的真數(shù)必須大于零、零的零次方無意義。這四種情況可能同時出現(xiàn)需要取交集。比如求f(x) √(x-1) / (x-3) lg(5-x)的定義域。需要同時滿足x-1 ≥ 0根號下非負、x-3 ≠ 0分母不為零、5-x 0對數(shù)真數(shù)為正。解出來是x ≥ 1且x ≠ 3且x 5即[1, 3) ∪ (3, 5)。值域的求法比定義域復(fù)雜得多常見方法有觀察法、配方法、換元法、單調(diào)性法、基本不等式法、判別式法。不同形式的函數(shù)要用不同的方法選錯方法可能算半天算不出來。比如求y x2 - 2x 3的值域用配方法y (x-1)2 2因為(x-1)2 ≥ 0所以y ≥ 2值域是[2, ∞)。但如果限定x ∈ [0, 3]那就要看對稱軸x 1在不在區(qū)間內(nèi)。x 1在[0, 3]內(nèi)所以最小值是x 1時的2最大值是x 3時的6值域是[2, 6]。注意求值域時如果定義域有限制一定要先看對稱軸在不在定義域內(nèi)再決定最值在哪里取。這是二次函數(shù)值域問題的核心。3.3 函數(shù)的表示方法——解析法、圖像法、列表法函數(shù)的表示方法有三種解析法用公式表示、圖像法用圖形表示、列表法用表格表示。這三種方法各有優(yōu)劣考試中經(jīng)常需要互相轉(zhuǎn)換。解析法最精確但不夠直觀。比如f(x) x3 - 3x你能看出它的增減趨勢嗎不太容易。但畫出圖像就一目了然在x -1處有極大值在x 1處有極小值。圖像法最直觀但不夠精確。從圖像上讀出的值往往是近似值而且圖像畫得不準(zhǔn)會誤導(dǎo)判斷。所以考試中經(jīng)常要求“先畫圖再計算”用圖像輔助思考用計算得到精確結(jié)果。列表法在考試中不常用但在實際生活中很常見。比如出租車計價表、快遞收費標(biāo)準(zhǔn)都是列表法表示的函數(shù)。三種方法之間的轉(zhuǎn)換是高頻考點。給了解析式要會畫圖像給了圖像要會寫解析式分段函數(shù)尤其常見給了表格要會找規(guī)律。其中分段函數(shù)的圖像和解析式互化是難點。比如一個分段函數(shù)當(dāng)x 0時f(x) x 1當(dāng)x ≥ 0時f(x) x2。畫圖像時x 0的部分是一條射線不含端點x ≥ 0的部分是一條拋物線含端點。寫解析式時要注意每段的定義域不能重疊也不能遺漏。實操心得畫分段函數(shù)圖像時先分區(qū)間畫再檢查端點。端點的實心/空心取決于該點屬于哪一段。如果兩段在端點處都有定義要檢查函數(shù)值是否相等不相等就是間斷點。4. 函數(shù)的四大性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性4.1 單調(diào)性——函數(shù)圖像的“上坡”與“下坡”單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一描述的是函數(shù)值隨自變量增大而增大增函數(shù)或減小減函數(shù)的趨勢。判斷單調(diào)性的方法有兩種定義法和導(dǎo)數(shù)法。高一階段主要用定義法也就是“取值、作差、變形、定號、下結(jié)論”五步。具體操作設(shè)x? x?計算f(x?) - f(x?)然后因式分解或通分判斷符號。如果f(x?) - f(x?) 0就是增函數(shù)如果f(x?) - f(x?) 0就是減函數(shù)。舉個例子證明f(x) x 1/x在(1, ∞)上是增函數(shù)。設(shè)1 x? x?則f(x?) - f(x?) (x? 1/x?) - (x? 1/x?) (x? - x?) (1/x? - 1/x?) (x? - x?) (x? - x?)/(x?x?) (x? - x?)(1 - 1/(x?x?))。因為x? x?所以x? - x? 0因為x?, x? 1所以x?x? 11/(x?x?) 11 - 1/(x?x?) 0。所以f(x?) - f(x?) 0f(x?) f(x?)是增函數(shù)。這個過程中最關(guān)鍵的是“變形”這一步。很多學(xué)生卡在因式分解上不知道怎么把f(x?) - f(x?)變成可以判斷符號的形式。我的建議是先通分再提取公因式(x? - x?)剩下的部分單獨判斷符號。注意單調(diào)性必須在定義域內(nèi)討論。比如f(x) 1/x在(-∞, 0)和(0, ∞)上都是減函數(shù)但不能說在(-∞, 0) ∪ (0, ∞)上是減函數(shù)。因為取x? -1, x? 1f(x?) -1 f(x?) 1不符合減函數(shù)的定義。4.2 奇偶性——函數(shù)圖像的“對稱美”奇偶性描述的是函數(shù)圖像的對稱性。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱滿足f(-x) -f(x)偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱滿足f(-x) f(x)。判斷奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點對稱。如果定義域是[-2, 3]那就不關(guān)于原點對稱函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)直接下結(jié)論就行不用再算f(-x)。常見的奇函數(shù)有y x, y x3, y 1/x, y sin x。常見的偶函數(shù)有y x2, y |x|, y cos x。常見的既奇又偶的函數(shù)只有一個f(x) 0定義域關(guān)于原點對稱。奇偶性的一個重要應(yīng)用是“知一半求另一半”。如果已知奇函數(shù)在x 0時的解析式可以利用f(-x) -f(x)求出x 0時的解析式。比如f(x)是奇函數(shù)當(dāng)x 0時f(x) x2 x求x 0時的解析式。設(shè)x 0則-x 0f(-x) (-x)2 (-x) x2 - x。因為f是奇函數(shù)f(x) -f(-x) -(x2 - x) -x2 x。所以x 0時f(x) -x2 x。實操心得利用奇偶性求解析式時注意最后要寫成分段函數(shù)的形式并且要說明f(0)的值如果定義域包含0奇函數(shù)在0處的值一定是0。4.3 周期性與對稱性——函數(shù)的“重復(fù)”與“鏡像”周期性描述的是函數(shù)值按一定規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì)。如果存在非零常數(shù)T使得對于定義域內(nèi)的任意x都有f(x T) f(x)那么T就是函數(shù)的一個周期。周期性的常見形式有f(x a) f(x)周期為af(x a) -f(x)周期為2af(x a) 1/f(x)周期為2a。這些變形在考試中經(jīng)常出現(xiàn)需要熟練掌握。對稱性分為軸對稱和中心對稱。如果f(a x) f(a - x)那么函數(shù)圖像關(guān)于直線x a對稱如果f(a x) -f(a - x)那么函數(shù)圖像關(guān)于點(a, 0)中心對稱。周期性和對稱性經(jīng)常結(jié)合起來考。比如已知f(x)是偶函數(shù)且f(x 2) -f(x)求f(x)的周期。由f(x 2) -f(x)得f(x 4) -f(x 2) f(x)所以周期是4。又因為f是偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱結(jié)合周期為4可以推出圖像還關(guān)于x 2對稱。注意周期性和對稱性的推導(dǎo)題關(guān)鍵是“反復(fù)代入”。把已知等式中的x替換成x a得到新的等式再和原等式聯(lián)立消去中間項就能得到周期。5. 從集合到函數(shù)——那些課本上不會明說的銜接邏輯5.1 定義域優(yōu)先原則——為什么所有函數(shù)題都要先看定義域我在帶學(xué)生的過程中發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象很多學(xué)生拿到函數(shù)題第一反應(yīng)是“這個函數(shù)長什么樣”而不是“這個函數(shù)的x能取哪些值”。這個習(xí)慣在初中沒問題因為初中函數(shù)的定義域默認(rèn)是全體實數(shù)。但高中不一樣定義域可能有限制而且這些限制會直接影響后續(xù)的所有計算。比如求函數(shù)f(x) x2 - 2x在[0, 3]上的值域。如果不看定義域直接配方得f(x) (x-1)2 - 1最小值是-1那就錯了。因為x 1在[0, 3]內(nèi)所以最小值確實是-1但最大值不是正無窮而是x 3時的3。所以值域是[-1, 3]。再比如判斷函數(shù)f(x) x2 - 2x的奇偶性。如果不看定義域直接算f(-x) x2 2x既不等于f(x)也不等于-f(x)所以是非奇非偶函數(shù)。但如果定義域限定為[-1, 1]那就要重新判斷。實際上f(x) x2 - 2x在[-1, 1]上仍然是非奇非偶函數(shù)因為f(-1) 3f(1) -1不滿足奇偶性的定義。實操心得養(yǎng)成“定義域優(yōu)先”的習(xí)慣。拿到任何函數(shù)題先在心里默念一遍“定義域是什么”然后再往下做。這個習(xí)慣能幫你避開至少30%的陷阱。5.2 集合語言在函數(shù)中的體現(xiàn)——用集合的眼光看函數(shù)高中函數(shù)定義的核心是“集合A到集合B的對應(yīng)”。定義域是集合A值域是集合B的子集。所以函數(shù)問題本質(zhì)上就是集合問題。比如求函數(shù)的值域其實就是求“所有函數(shù)值組成的集合”。判斷兩個函數(shù)是不是同一個函數(shù)就是判斷“定義域相同且對應(yīng)關(guān)系相同”。這些都可以用集合的語言來描述。再比如函數(shù)的單調(diào)性可以這樣用集合語言描述對于定義域I上的函數(shù)f(x)如果對于I的任意兩個數(shù)x?, x?當(dāng)x? x?時都有f(x?) f(x?)那么f(x)在I上是增函數(shù)。這里的“任意”兩個字很關(guān)鍵它意味著不能只驗證幾個特殊的x值必須對所有x都成立。注意用集合語言描述函數(shù)性質(zhì)時“任意”和“存在”是兩個完全不同的量詞。單調(diào)性要求“任意”而函數(shù)有零點只要求“存在”?；煜@兩個量詞是邏輯錯誤的高發(fā)區(qū)。5.3 常見題型與解題套路——從集合到函數(shù)的綜合應(yīng)用集合與函數(shù)的綜合題常見的有以下幾類第一類是“已知函數(shù)定義域求參數(shù)”。比如f(x) √(ax2 bx c)的定義域是R求a, b, c滿足的條件。這本質(zhì)上是一個集合問題不等式ax2 bx c ≥ 0的解集是R。需要分a 0和a ≠ 0兩種情況討論。第二類是“已知函數(shù)值域求參數(shù)”。比如f(x) x2 - 2ax 3在[1, 2]上的值域是[2, 3]求a的值。這需要根據(jù)對稱軸x a與區(qū)間[1, 2]的位置關(guān)系分三種情況討論a 1、1 ≤ a ≤ 2、a 2。第三類是“集合與函數(shù)的交集問題”。比如已知A {x | f(x) 0}B {x | g(x) 0}求A∩B。這需要先分別求出A和B再取交集。這些題型的共同特點是需要分類討論而且分類的標(biāo)準(zhǔn)往往與定義域或?qū)ΨQ軸的位置有關(guān)。分類討論時要做到“不重不漏”這是高一數(shù)學(xué)的核心能力之一。實操心得分類討論時先在草稿紙上畫一個數(shù)軸把關(guān)鍵點標(biāo)出來然后一段一段地討論。每討論完一種情況就在數(shù)軸上打個勾確保沒有遺漏。6. 常見問題與排查技巧實錄6.1 集合運算中的高頻錯誤與糾正方法集合運算中最常見的錯誤有三個一是忘記檢驗互異性二是端點開閉搞錯三是空集情況遺漏。忘記檢驗互異性前面已經(jīng)說過解決辦法就是“算出參數(shù)后必須代回原集合檢驗”。端點開閉搞錯解決辦法是“畫數(shù)軸用實心點表示閉空心點表示開然后看重疊部分”?？占闆r遺漏解決辦法是“看到子集符號?先想空集”。還有一個容易被忽視的錯誤是“全集變化”。比如題目說“已知全集U ZA {x | x 2k, k ∈ Z}求??A”。這里的補集是在整數(shù)集里求所以??A {x | x 2k 1, k ∈ Z}也就是所有奇數(shù)。如果誤以為全集是R就會寫成{x | x ≠ 2k, k ∈ Z}那就錯了。注意做集合題時先看題目有沒有指定全集。沒有指定就默認(rèn)是R指定了就按指定的來。這個習(xí)慣能幫你避開很多低級錯誤。6.2 函數(shù)定義域與值域的典型陷阱定義域的陷阱主要有兩個一是“先化簡再求定義域”二是“分段函數(shù)的定義域取并集”。先化簡再求定義域是很多學(xué)生的習(xí)慣但這個習(xí)慣有時候會出錯。比如f(x) (x2 - 1)/(x - 1)化簡后是f(x) x 1。如果先化簡再求定義域會得到R但原函數(shù)的定義域是x ≠ 1。所以定義域必須從原函數(shù)出發(fā)求不能先化簡。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。比如f(x) x 1 (x 0) 和 f(x) x2 (x ≥ 0)定義域是(-∞, 0) ∪ [0, ∞) R。這個看起來簡單但考試中經(jīng)常有學(xué)生把并集寫成交集導(dǎo)致定義域縮小。值域的陷阱主要是“忽略定義域限制”和“選錯求值域的方法”。忽略定義域限制前面已經(jīng)說過選錯方法則需要多練。我的建議是先判斷函數(shù)類型再選方法。一次函數(shù)用觀察法二次函數(shù)用配方法分式函數(shù)用分離常數(shù)法或判別式法根式函數(shù)用換元法。實操心得求值域時先畫個草圖看看函數(shù)的大致走勢再決定用什么方法。草圖不用很精確能看出增減趨勢就行。6.3 單調(diào)性與奇偶性判斷的易錯點單調(diào)性判斷的易錯點主要是“單調(diào)區(qū)間不能并”和“定義域優(yōu)先”。單調(diào)區(qū)間不能并前面已經(jīng)說過。定義域優(yōu)先意思是判斷單調(diào)性之前要先確定定義域在定義域內(nèi)討論。奇偶性判斷的易錯點主要是“定義域不對稱”和“f(0) 0不是奇函數(shù)的充分條件”。定義域不對稱直接下結(jié)論“非奇非偶”就行。f(0) 0只是奇函數(shù)的必要條件不是充分條件。比如f(x) x2f(0) 0但它是偶函數(shù)不是奇函數(shù)。還有一個容易混淆的點是“奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù)”和“偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)”。這兩個結(jié)論是對的但“奇函數(shù) 偶函數(shù)”的結(jié)果不確定可能是奇函數(shù)、偶函數(shù)或非奇非偶函數(shù)需要具體分析。注意判斷奇偶性時先看定義域是否關(guān)于原點對稱。不對稱就直接下結(jié)論對稱再算f(-x)。這個順序能幫你節(jié)省時間。6.4 綜合題的拆解思路與檢查清單綜合題往往涉及多個知識點拆解思路是“先拆后合”先把題目拆成幾個小問題分別解決再合并結(jié)果。比如一道典型的綜合題已知函數(shù)f(x) x2 - 2ax 3在[1, 2]上的最小值為g(a)求g(a)的解析式。這道題可以拆成三個小問題a 1時最小值是多少1 ≤ a ≤ 2時最小值是多少a 2時最小值是多少分別解決后再寫成分段函數(shù)的形式。檢查清單定義域是否考慮分類討論是否完整端點是否檢驗結(jié)果是否化簡分段函數(shù)是否寫全實操心得做完綜合題后花30秒對照檢查清單過一遍。這個習(xí)慣能幫你把正確率從70%提到90%以上。7. 給不同基礎(chǔ)讀者的學(xué)習(xí)建議7.1 基礎(chǔ)薄弱者的補課路徑如果你現(xiàn)在做集合與函數(shù)的題還經(jīng)?？げ灰敝㈦y題先把基礎(chǔ)打牢。具體路徑是第一步把課本上的定義和例題重新看一遍確保每個概念都能用自己的話解釋清楚。比如什么是集合的互異性什么是函數(shù)的定義域這些都要能脫口而出。第二步做課本上的練習(xí)題每道題都寫出完整過程不要跳步。特別是定義域的求解一定要寫出所有限制條件再取交集。第三步整理錯題本把做錯的題分類整理標(biāo)注錯誤原因。是概念不清、計算失誤還是方法選錯針對不同原因采取不同措施。第四步等基礎(chǔ)題的正確率穩(wěn)定在90%以上再開始做中等難度的題。不要一上來就做壓軸題那樣只會打擊信心。7.2 中等水平者的提分策略如果你基礎(chǔ)題基本沒問題但遇到綜合題就發(fā)怵那你的提分策略是“專項突破”。先統(tǒng)計一下自己最近五次考試中集合與函數(shù)部分的失分點在哪里。是定義域求錯是值域方法選錯還是分類討論遺漏找到薄弱環(huán)節(jié)后集中做20道同類題做完后總結(jié)規(guī)律。比如你發(fā)現(xiàn)自己在“含參數(shù)的二次函數(shù)值域問題”上經(jīng)常出錯那就專門練這一類題。練的時候注意總結(jié)對稱軸在區(qū)間左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況分別怎么處理端點值怎么算最大值和最小值分別在什么地方取專項突破的關(guān)鍵是“量變引起質(zhì)變”。同一類題做夠20道你自然就能看出套路了。7.3 優(yōu)秀者的拓展方向如果你集合與函數(shù)的基礎(chǔ)題和綜合題都沒問題那你可以往兩個方向拓展第一個方向是“提前接觸導(dǎo)數(shù)”。導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性比定義法快得多而且能處理很多定義法處理不了的函數(shù)。比如f(x) x3 - 3x用定義法判斷單調(diào)性很麻煩但用導(dǎo)數(shù)就很簡單f(x) 3x2 - 3令f(x) 0得x -1或x 1所以增區(qū)間是(-∞, -1)和(1, ∞)。第二個方向是“接觸抽象函數(shù)”。抽象函數(shù)沒有具體解析式只給出一些性質(zhì)如f(x y) f(x) f(y)要求判斷單調(diào)性、奇偶性等。這類題能很好地鍛煉邏輯推理能力也是高考壓軸題的?？汀嵅傩牡贸橄蠛瘮?shù)的處理方法是“賦值法”。先令x y 0求出f(0)再令y -x找出f(x)和f(-x)的關(guān)系最后令x? x?判斷f(x?)和f(x?)的大小關(guān)系。這套流程能解決大部分抽象函數(shù)問題。8. 寫在最后的一些個人體會帶了這么多屆學(xué)生我發(fā)現(xiàn)集合與函數(shù)這一章有一個特點它不像后面的三角函數(shù)、數(shù)列那樣有固定的套路它的題目變化多端但萬變不離其宗。這個“宗”就是定義域優(yōu)先、分類討論、數(shù)形結(jié)合這三個核心思想。定義域優(yōu)先是說任何函數(shù)問題都要先看x能取哪些值。分類討論是說遇到含參數(shù)的問題要分情況處理不能一刀切。數(shù)形結(jié)合是說能畫圖就畫圖圖像能幫你直觀地理解問題。這三個思想不僅適用于集合與函數(shù)也適用于整個高中數(shù)學(xué)。如果你在這一章就把這三個思想練熟了后面的學(xué)習(xí)會輕松很多。最后分享一個我自己的小技巧每次做函數(shù)題之前先在草稿紙的左上角寫三個字——“定義域”。這個動作只需要一秒鐘但能提醒你養(yǎng)成先看定義域的習(xí)慣。我試過堅持一個月后定義域相關(guān)的錯誤率能下降80%以上。你可以試試。